Divisão de polinômio por polinômio.

A operação de divisões é composta por dividendo, divisor, quociente e resto, no caso da divisão de polinômio por polinômio, considerando que cada um deles seja formado por mais de um monômio, iremos considerar a seguinte divisão:

P(x) |G(x)
R(x) D(x)

Onde P(x) é o dividendo; G(x) divisor; D(x) quociente e R(x) resto.

OBSERVAÇÃO: O resto em uma divisão de polinômio por polinômio pode ser:
• Igual à zero, nesse caso a divisão é exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor.
• Ou o resto pode ser diferente de zero, podendo assumir um valor real ou pode ser um polinômio, nesse caso será considerado resto um valor ou polinômio menor que o divisor.

A explicação de divisão de polinômio por polinômio será feita através de um exemplo, onde todos os passos tomados serão explicados.

Exemplo: resolva a seguinte divisão (6x⁴ – 10x³ + 9x² + 9x – 5) : (2x² – 4x + 5).

Antes de iniciarmos o processo da divisão é preciso fazer algumas verificações:

• Verificar se tanto o dividendo como o divisor está em ordem conforme as potências de x.
• Verificar se no dividendo, não está faltando nenhum termo, se estiver é preciso completar.

Feita as verificações podemos iniciar a divisão.

O dividendo possui 5 monômios (termos) e o divisor possui 3 monômios (termos).

6x⁴ – 10x³ + 9x² + 9x – 5 | 2x² – 4x + 5

• Iremos dividir o 1º termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor:

6x⁴ : 2x² = 3x²

• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x² – 4x + 5 (divisor).

(2x² – 4x + 5) . (3x²) = 6x⁴ – 12x³ + 15x²

• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 6x⁴ – 10x³ + 9x² + 9x – 5 (dividendo).




Agora iremos levar em consideração o polinômio 2x³ – 6x² + 9x - 5 e iremos dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x² – 4x + 5).

2x³ : 2x² = x

• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x² – 4x + 5 (divisor)

(2x² – 4x + 5) . (x) = 2x³ – 4x² + 5x

• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 2x³ – 6x² + 9x – 5.




Agora iremos levar em consideração o polinômio -2x² +4x - 5e dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x² – 4x + 5).

-2x² : 2x² = -1

• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor)

(2x² – 4x + 5) . (-1) = - 2x² + 4x - 5

• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio -2x² +4x – 5.




Portando, podemos dizer que (6x⁴ – 10x³ + 9x² + 9x – 5) : (2x² – 4x + 5) = 3x² +x – 1, com resto igual a zero. Caso queira fazer a prova real, basta multiplicar (3x² +x – 1) por 2x² – 4x + 5 e verificar se a solução será 6x⁴ – 10x³ + 9x² + 9x – 5. Nesse caso, como o resto é zero, não é preciso somá-lo ao produto.